Скачати питання у форматі PDF Перелік запитань, що виносяться
на кваліфікаційний екзамен для магістрів
(2010 рік)

1. Аксіоматичний метод побудови теорії. Вимоги до системи аксіом та їх перевірка. Математичні структури. Структурний підхід до предмету математики. Формальні та неформальні аксіоматичні теорії. Теорема Гьоделя про неповноту.
2. Поняття потужності множини. Властивості зчисленних та континуальних множин. Теорема про існування множин як завгодно великих потужностей. Приклади гіперконтинуальних множин.
3. Системи множин. Півкільце, кільце, алгебра, сигма-алгебра та їх властивості. Породжені системи множин. Борелівська сигма-алгебра. 
4. Розвиток поняття інтеграла. Інтеграл Рімана, інтеграл Лебега, інтеграл Лебега-Стілть’єса.
5. Метричні простори. Приклади. Збіжність в метричних просторах. Сепарабельні метричні простори. Повні метричні простори. Стискуючі відображення. Теорема Банаха та її застосування.
6. Лінійні простори. Нормовані лінійні простори. Приклади. Збіжність в нормованих лінійних просторах. Банахові простори.
7. Гільбертові простори. Приклади. Види збіжності та зв’язок між ними. Геометрія гільбертового простору.
8. Лінійні оператори. Зв'язок між неперервністю та обмеженістю лінійного оператора. Самоспряжені оператори.
9. Топологічні простори. Приклади. Методи введення топології. Порівняння топологій. Збіжність в топологічних просторах. Хаусдорфові топологічні простори.
10. Неперервні відображення топологічних просторів. Гомеоморфізми. Предмет топології. Топологічні властивості і проблема гомеоморфізму.
11. Вимірний простір, вимірний простір з мірою, ймовірнісний простір. Приклади. Різні підходи до означення ймовірності.
12. Різні поняття розмірності множини. Топологічна розмірність. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича. Фрактали. Приклади фракталів. Фрактальна геометрія.
13. Груповий погляд на геометрію. Ерлангенська програма Ф. Клейна. Груповий погляд на евклідову геометрію, афінну геометрію, проективну геометрію, топологію, фрактальну геометрію.
14. Алгебраїчні структури. Групи, кільця, поля. Гомоморфізм та ізоморфізм алгебраїчних структур. Предмет теорії груп (кілець, полів).
15. Математичні моделі та методи, різні класифікації математичних моделей. Приклади математичних моделей в фізиці, економіці та інформатиці.
16. Оптимізаційні моделі. Моделі та методи лінійного та нелінійного програмування (графічний, симплекс-метод, метод множників Лагранжа). Елементи теорії ігор. Зведення матричної гри з нульовою сумою до задачі лінійного програмування.
17. Статистичні моделі та методи. Статистичні гіпотези та статистичні критерії. Приклади застосувань.
18. Економетричні моделі та методи, їх застосування в прогнозуванні. Метод найменших квадратів та його узагальнення. Побудова та аналіз лінійних і нелінійних економетричних моделей.

Список рекомендованої літератури.

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия , -М.: Наука, 1990. – 672 с.
2. Атанасян Л.С. , Базылев В.Т. Геометрия, Ч.2, - М.: Просвещение, 1986.
3. Березанський Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Ф. Функциональный анализ. Курс лекций. -К.: Вища школа, 1990.
4. Борисенко О. А. Диференціальна геометрія і топологія. Харків: Основа, 1995.- 304 с
5. Вивальнюк Л.М., Григоренко В.К., Левіщенко С.С. Числові системи. – К.: Вища школа, 1988. – 271с.
6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. –– М.: Наука, 1965.
7. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, ч. 1. -К.: Вища школа, 1990.
8. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, ч. 2. -К.: Вища школа, 1991
9. Давидов М.О. Курс математичного аналізу, ч. 3. -К.: Вища школа, 1992.
10. Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. — К.: Вища шк., 1989. — 152 с.
11. Завало С.Т. Курс алгебри. — К.: Наукова думка, 1985.
12. Колмогоров А.М., Фомін С.В. Елементи теорії функцій і функціонального аналізу. — К.: Вища школа, 1974. — 456 с.
13. Кострикин А. Й., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.-304с
14. Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. — М.: Постмаркет, 2000. — 352 с.
15. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. -М.: Наука, 1974.
16. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы, математическая статистика.— М.: Наука, 1987.
17. Рудин У. Основы математического анализа . -М., Мир, 1976.
18. Скороход А.В. Элементы теории вероятностей и случайных процесов. К.: Киевский ун-т., 1974.
19. Смирнов Курс высшей математики. Т. 5 – М. Физ.-Мат. Лит., 1959
20. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. –К.: Наукова думка, 1992, 208 с.
21. Шарковский А.Н., Коляда С.Ф., Сивак А.Г.,Федоренко В.В. Динамика одномерных отображений.— К.: Наукова думка, 1989.— 216с.
  22. Falconer K., Fractal geometry: mathematical foundation and application.