Деталі

Категорія: Наукові школи

1. НАУКОВА ШКОЛА 

доктора фізико-математичних наук, професора

ПРАЦЬОВИТОГО  Миколи Вікторовича 

«Фрактальний аналіз  та фрактальна геометрія»

1. Науковий напрямок, основні наукові результати

Фрактальний аналіз –– відносно молода і швидко прогресуюча галузь сучасної математики, яка засобами теорії мір дробових порядків, метричних розмірностей, операторів дробового інтегрування та диференціювання вивчає властивості математичних об'єктів зі складною локальною будовою (геометричних фігур, сингулярних мір і розподілів ймовірностей, неперервних в жодній точці недиференційовних функцій, динамічних систем з фрактальними атракторами і репелерами, асимптотичних властивостей динамічних систем з конфліктною взаємодією, перетворень простору, що зберігають фрактальну розмірність тощо).

Методи фрактального аналізу і фрактальної геометрії сьогодні широко використовуються в різних галузях науки. Спостерігається фрактальний бум в фізиці, хімії, матеріалознавстві, біології, геофізичній гідродинаміці, теорії протікання тощо. Виявлено тісні зв'язки деяких критичних показників складних систем з її фрактальними властивостями. Сьогодні нехтувати мікроструктурами і мікрофлуктуаціями реальних об'єктів, процесів і явищ –– це, по меншій мірі, спотворювати істинну природу речей. А серйозно їх враховувати в математичних моделях допомагають фрактали, недиференційовні функції, сингулярні розподіли ймовірностей, нелінійні  динамічні системи з хаотичними (фрактальними) аттракторами тощо. Названі об'єкти сьогодні об'єднують спільні проблеми, основною з яких є недостатній розвиток ефективних способів їх задання і вивчення. Частково подолати названі труднощі дозволяє широке використання різних систем числення та способів подання чисел, зокрема нетрадиційних (негапозиційні системи числення, позиційні системи числення з надлишковим набором цифр, системи з комплексною основою тощо). Їх використання дозволяє формально просто описувати цілі класи фрактальних множин, функцій та розподілів ймовірностей. З іншого боку, фрактальна геометрія стане ефективним інструментом лише після грунтовної розробки її аналітичних основ. 

Основні результати, отримані в рамках досліджень наукової школи Працьовитого М.В. стосуються дослідження властивостей множин, функцій, динамічних систем, операторів, розподілів ймовірностей та їх згорток засобами фрактального аналізу, який грунтується на застосуванні до вказаних об'єктів методів теорії мір та розмірностей Хаусдорфа, Хаусдорфа-Безиковича і їх узагальнень. В роботах Працьовитого М.В. та його учнів закладаються основи групового погляду на фрактальну геометрію як науку про інваріанти групи перетворень простору, що зберігають фрактальну розмірність (DP-перетворень). 

Наукові результати, отримані в рамках досліджень школи є фундаментальними і носять теоретичний характер. Вони вже використовуються і, безсумнівно, знайдуть подальше застосування в дослідженнях з теорії множин, теорії ймовірностей, теорії чисел, теорії динамічних систем, геометрії, теорії кодування і стиснення інформації; у фізиці для створення математичних моделей процесів і явищ навколишнього світу; викладачами у навчальному процесі при читанні відповідних спецкурсів, студентами при написанні курсових та дипломних робіт. 

Працьовитий М.В. з 1992 р. керує семінаром з фрактального аналізу, що функціонує в Києві. Керує роботою аспірантів та докторантів, під його керівництвом захистили дисертації 28 кандидатів та 3 доктори наук. Школа М. В. Працьовитого розвиває наукові зв’язки між НПУ імені М. П. Драгоманова та іншими науковими центрами, організовує та бере участь у спільних наукових проектах (проекти DFG, INTAS, Державного фонду фундаментальних досліджень). З 1995 року успішно керував розробками держбюджетних тем (замовник МОН України).

2.1. Захищені дисертації Працьовитого М.В.

• Працьовитий Микола Вікторович, 1987 р., науковий керівник: професор Турбін А.Ф., кандидатська дисертація на тему на тему «Сингулярні розподіли з фрактальними носіями канторівського і салемівського типів»,
• Працьовитий Микола Вікторович, 1998 р., науковий консультант: професор Турбін А.Ф., докторська дисертація на тему на тему «Фрактальний підхід до дослідження сингулярнихрозподілів ймовірностей».

            2.2. Захищені дисертації під керівництвом Працьовитого М.В.

Кандидатські дисертації

01.01.01 – математичний аналіз:

1. Барановський Олександр Миколайович – «Метрична та ймовірнісна теорія чисел, представлених рядами Остроградського 1-го виду» (2007 р.);
2. Панасенко Олексій Борисович – «Фрактальні властивості графіків деяких класів неперервних ніде не диференційовних функцій» (23.03.2010 р.);
3. Василенко Наталя Анатоліївна - «Фрактальні властивості непреривних ніде не монотонних та недиференційованих функцій» (14.10.2014 р.);
4. Климчук Світлана Леонідівна - «Фрактальні властивості функції середнього значення цифр s-кового зображення числа» (7.07.2015)
5. Савченко Ігор Олександрович – «Фрактальний аналіз множин неповних сум числових рядів» (06.09.2016)

01.01.04 – геометрія і топологія

1. Коваленко Валерій Миколайович – «Аналітичні методи в фрактальній геометрії»(20.09.2016)

01.01.05 – теорія ймовірностей та математичнастатистика:

1. Торбін Григорій Мирославович – «Випадкові величини типу Джессена-Вінтнера та їх фрактальні властивості» (20.04.1999 р.);
2. Школьний Олександр Володимирович – «Комплекснозначні випадкові величини типу Джессена-Вінтнера» (2000 р.);
3. Гончаренко Яніна Володимирівна – «Згортки сингулярних розподілів» (2004 р.);
4. Лещинський Олег Львович - «Фрактальний розподіл випадкових величин, представлений ланцюговими дробами» (2001 р.);
5. Фещенко Олексій Юрійович - «Застосування f-кодів дійсних чисел до дослідження фрактальних властивостей ймовірнісних мір» (25.02.2008 р.);
6. Кюрчев Дмитро Володимирович – «Розподіли випадкових ланцюгових дробів та їхз фрактальні властивості» (15.06.2010 р);
7. Макарчук Олег Петрович – «Проблема поглиблення теореми Джессена-Вінтнера для нескінченних згорток Бернуллі та їх узагальнень» (08.10.2013 р.);
8. Жихарєва Юлія Ігорівна - «Сингулярні розподіли ймовірностей, пов'язані з представленнями чисел знакододатними рядами Люрота» (2014 р.);
9. Хворостіна Юрій В’ячеславович – «Розподіли випадкових величин з фрактальними властивостями, пов’язані зі знакозмінними рядами Люрота » - 01.01.05 - теорія ймовірності та математична статистика. (.2015)

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

1. Вотякова Олеся Андріївна – «Напівгрупи напівстохастичних матриць та їх застосування» (27.12.2004 р.);
2. Микитюк Інна Олексіївна - «Нетрадиційні системи числення  і фрактали з ними пов'язані» (12.04.2010 р.).
3. Василенко Наталія Миколаївна  - «Використання фібоначчієвої системи числення для дослідження фрактальних властивостей математичних об'єктів зі складною локальною будовою» (14.06.2010 р.);
4. Котова Ольга Володимирівна – «Тополого-метричні властивості множин розв’язків рівнянь, які містять фрактальні функції» (14.06.2010 р.);
5. Гетьман Богдан Іванович – «Тополого-метрична і фрактальна теорія зображень чисел рядами Енгеля» (15.10.2012 р.);

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

1. Дрозденко Віталій Олександрович – «Методи підрахунку вартості страхових контрактів при відомих розподілах збитків» (20.02.2015 р.)

 13.00.02 – теорія та методика навчання математики

1. Главатських Ірина Михайлівна "Професійна спрямованість математичної підготовки майбутніх інженерів-педагогів";
2. Пихтар Микола Петрович – «Розвиток математичних здібностей школярів у діяльності Малої академії наук» (22.03.2011 р.);
3. Шевченко Світлана Миколаївна – «Розвиток аналітичного мислення студентів вищих технічних навчальних закладів у процесі вивчення математичних дисциплін» (2013 р.);
4. Дрозденко Олександр Левкович – «Професійно-спрямоване навчання вищої математики студентів аграрного колледжу» (2013 р.);
5. Махомета Тетяна Миколаївна – «Методика вивчення ліній і поверхонь у курсі аналітичної геометрії в педагогічних університетах» (2014 р.);

Докторські дисертації

01.01.05 – теорія ймовірності та математична статистика:

1. Торбін Григорій Мирославович - «Фрактальні розподіли ймовірностей і перетворення, що зберігають розмірність Хаусдорфа-Безиковича» (2008 р.)

13.00.02 – теорія та методика навчання математики:

1. Ленчук Іван Григорович – «Теоретико-методична система навчання евклідової геометрії майбутніх учителів на основі конструктивного підходу» (27.02.2013 р.).
2. Школьний Олександр Володимирович – «Теоретико-методичні засади оцінювання навчальних досягнень з математики учнів старшої школи».

            3. Державні премії та нагороди

             Професор Турбін А.Ф. в … році нагороджений  Державною премією України в галузі науки і техніки.

Професор Працьовитий М.В. Заслужений діяч науки і техніки України (2010), Соросівський доцент (1995), відмінник освіти України (1998,2000), в 2001 році був нагороджений медаллю М. Остроградського, в 2004 році отримав нагороду Київської міської адміністрації за вагомий особистий внесок у розвиток вітчизняної науки та зміцнення науково-технічного потенціалу столиці України, Медаль за наукові досягнення (2005), Нагороджений Почесною грамотою Президії НАН України та ЦК профспілки працівників НАН України за багатоплідну науково-педагогічну діяльність, вагомі заслуги у підготовці висококваліфікованих спеціалістів, зміцненні творчої інтеграції вищої школи і науки та з нагоди 175-річчя від дня заснування навчального закладу (2009), Присвоєно почесне звання «Заслужений діяч науки і техніки України» (2010), Нагороджений медаллю «За наукові досягнення ім. М.П. Кравчука» (2010), Нагороджений почесною грамотою Київської обласної державної адміністрації   (2010), Нагороджений медаллю «20 років АНВОУ» (2012), Присуджено премію НАН України імені М.П.Крилова за видатні наукові роботи в галузі нелінійної механіки та прикладної математики (2013), Почесна грамота Президії Верховної Ради України (2014) Медаль Академії педагогічних наук України «Ушинський К. Д.» та ін.

Доцент Торбін Г.М. в 2005 році нагороджений премією Президента України для молодих вчених за цикл наукових праць „Фрактальний аналіз сингулярних розподілів ймовірностей  та перетворення,  що зберігають  розмірність Хаусдорфа-Безиковича”.

4. Міжнародне співробітництво та співробітництво з науковими та навчальними установами України

4.1. Німецько-українські проекти DFG

• Німецько-український проект DFG 436 UKR113/53 «Singularprobabilitydistributionsviafractalapproachandtheirapplications»  (“Фрактальні властивості сингулярних розпоіділв ймовірностей”) Виконавці:Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В. (2001-2004 рр.);
• Німецько-український проект DFG 436 UKR 113/80«Singularprobabilitydistributionsandtransformationspreservingthefractaldimensions» („Сингулярні розподіли ймовірностей та перетворення, що зберігають фрактальну розмірність”). Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В., Барановський О.М. (2004-2007 рр.);
• Німецько-український проект DFG 436 UKR 113/78 «StructurespectralmeasuresandsingularcontinuousspectraSchrodingertype» („Структура спектральних мір та сингулярно неперервні спектри операторів Шредінгерівського типу”).  Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М.
• Німецько-український проект DFG 436 UKR 113 “Multilevel fractal analysis of singular probability measures and its applications” («Багаторівневий мультифрактальний аналіз сингулярних ймовірнісних мір та його застосування»).

Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Гончаренко Я.В., Барановський О.М., Нікіфоров Р.О. (2007-2009).         

4.2. Загальноєвропейський проект INTAS

• Загальноєвропейський (Бонн – Берлін – Рим – Трієст – Київ – Москва - Санкт-Петербург) проект INTAS 00-257 «Spectral problems for Schrodinger-type operators: noncommutative analysis, coherent transform, averaging, semiclassical approximation and complex geometry».

 (Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М.).

• Загальноєвропейський науковий проект Project “Structure and evolution of complex systems with applications in physics and life sciences” («Структура та еволюція складних систем із застосуваннями у фізиці й науках про життя»), Marie Curie Actions “People”, International Research Staff Exchange Scheme “IRSES”, Call identifier FP7 - People - 2013 - IRSES, 01.01.2014 – 31.12.2018.

Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Кондратьєв Ю.Г., Гончаренко Я.В., Барановський О.М.

4.3. Спільні проекти з Інститутом математики Національної академії наук України

• Спільний науковий проект “Топологічні та метричні характеристики атракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами”, грант Державного фонду фундаментальних досліджень, проект № 01.07 / 00081. Виконавці: Працьовитий М.В., Торбін Г.М., Школьний О.В., Гончаренко Я.В., Барановський О.М., Дмитренко С.О.) (2001-2005 рр.);
• Спільна з відділом фрактального аналізу фундаментальна науково-дослідна робота № 18 «Мультифрактальний аналіз сингулярних мір, функцій та динамічних систем» (2006-2008 рр.).
• Спільна з відділом фрактального аналізу фундаментальна науково-дослідна робота №17 «Фрактальний аналіз неперервних функцій і мір» (2009-2015рр.)

4.4. Спільні проекти з навчальними закладами України

• Луганський державний педагогічний університет імені Тараса Шевченка (лабораторія теоретичних та прикладних проблем математики): спільний науковий проект “Генезис та систематизація змісту математичної освіти”;
• Київський національний університет імені Тараса Шевченка;
• Національний технічний університет “КПІ” та ін.

5. Розробка держбюджетної тематики

• «Дослідження фракталів і їх використання для формування наукового світогляду» (1995 – 1997 рр.);
• «Дослідження фракталів в теоріях чисел, функцій, розподілів ймовірностей»  (1998-2000 рр.)
• «Фрактальна геометрія і її місце в професійній підготовці вчителя» (2001- 2003 рр.);
• «Дослідження фрактальних об’єктів алгебри, геометрії, функціонального аналізу і теорії ймовірностей»  (2004-2006 pp.);
• «Фрактальний аналіз математичних об’єктів зі складною локальною будовою» (2007-2009 рр.)
• «Двійкове кодування дійсних чисел і фрактали» (2010-2012 рр.);
• «Система кодування дійсних чисел з нескінченним алфавітом і фрактали» (2013-2015 рр.).
• “Дослідження еволюційних детермінованих та стохастичних систем складної тополого-метричної структури. Фрактальні властивості, керованість” (2015-2017рр.).
• «Моделювання та фрактальний аналіз динамічних систем з локально складними відображеннями» (2016-2018 рр.)
• Науково-дослідна робота “Розробка алгоритмів автоматичного визначення ступеню зв’язку між об’єктами (учасниками фінансових операцій)” (тендер Державного комітету фінансового моніторингу Міністерства фінансів України, 2004 р.).

6. Відділ фрактального аналізу В січні 2006 року з ініціативи ректора НПУ імені М.П.Драгоманова академіка АПН Андрущенка Віктора Петровича та директора Інституту математики НАН України академіка НАН України Самойленка Анатолія Михайловича було створено відділ (лабораторію) фрактального аналізу, яку очолив Працьовитий Микола Вікторович. Основними напрямками діяльності відділу є:·

• розвиток фундаментальних досліджень фрактальних властивостей математичних об’єктів та координації таких досліджень з науковими програмами НАНУ,
  
• розширення співробітництва між вищими навчальними закладами України та НАН України,
• розширення зв’язків між професорсько-викладацьким складом НПУ імені М.П.Драгоманова та співробітниками ІМ НАН України,
• сприяння розвитку міжнародного наукового співробітництва,
• впровадження результатів наукових досліджень в навчальний процес,
• широка популяризація наукових математичних знань,
• підтримка талановитої молоді.

6. Публікації

Науковий керівник школи та його учні опублікували більше 500 наукових статей в фахових виданнях та журналах що входять до науково-метричних баз даних в Україні та за її межами, зокрема публікувались в таких жірналах:

Основні публікації школи:

Монографії

1. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. — Киев: Наук.думка, 1992. — 208с.
2. Працьовитий М.В. Фрактальний підхід у дослідженнях сингулярних розподілів. — Київ: НПУ імені М.П.Драгоманова, 1998. — 296 с.
3. Барановський О.М., Працьовитий М.В., Торбін Г.М. Ряди Остроградського-Серпінського-Пірса та їх застосування. – К. Наукова думка, 2013. – 288 с.

Наукові статті

1. Працьовитий М.В. Узагальнення та поглиблення теореми Джессена Вінтнера про лебегівську структуру розподілу суми випадкового ряду // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фіз.-мат. науки, 2010.––  № 11. –– С.163-188.
2. Prats’ĭ M.V., KyurchevD.V. The Singularity of the distribution of a random variable represented by  contineed fraction with independent elements // Teor. Ĭmovir. ta Matem. Statyst., 2010. –– 16 p.
3. Albeverio S., Koshmanenko V., Pratsiovytyi M., Torbin G. On fine structure of singularly continuous probability measures and random variables with independentQ- symbols // Methods of Functional Analysis and Topology, 2011. –– Vol. 17, no.2. ––
4. Працьовитий М.В., Калашніков А.В. Про один клас неперервних функцій зі складною локальною будовою, більшість з яких сингулярні або недиференційовні // Труды ИПММ НАН Украины, 2011. – Том 23. – С. 180-191.
5. Жихарєва Ю.І., Працьовитий М.В. Властивості розподілу випадкової величини, L-символи якої в зображенні знакододатним рядом Люрота, є незалежними // Труды ИПММ НАН Украины, 2011. – Том 23. – С. 71-83.
6. Працьовитий М.В. Ніде не монотонні сингулярні функції // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фіз.-мат. науки, 2011.––  №12. – С. 24-36.
7. Zhykharyeva Yulia, Pratsiovytyi Mykola  Expansions of numbers in positive Luroth series and their applications to metric, probabilistic and fractal theories of numbers // Algebra and Discrete Mathematics, Volume 14(2012). Number 1.
8. Pratsiovytyi M.V., Makarchuk O.P. Distribution of random variable represented by binary fraction with two redundant digits 2 and 3 having the same distribution // Random Operators and Stochastic Equations, 2013. – 21, N 1. – P.21-35.
9. Працьовитий М.В., Василенко Н.А. Розподіли ймовірностей на графіках одного класу ніде не диференційовних функцій // Труды ИПММ НАН Украины, 2013. – Том 26. – С. 159-171.
10. Гончаренко Я.В., Жихарєва Ю.І., Працьовитий М.В. Властивості розподілу випадкової підсуми знакододатного ряду Люрота з незалежними доданками // Труды ИПММ НАН Украины, 2013. – Том 26. – С. 46-57.
11. PratsiovytyiM., KhvorostinaYu. Topological and metric properties ofdistributions of random variables represented by the alternatingLüroth series with independent elements // Random Oper.
12. Pratsiovytyi M., Vasylenko N. Fractal properties of functions defined in terms of Q-representation // International Journal of Math. Analysis, Vol.7, 2013. no. 61-67 . – P.3155 - 3169.
13. Працьовитий М.В., Василенко Н.А. Одна сiм’я неперервних нiде не монотонних функцiй з фрактальними властивостями  // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія –– №  14. – С. 176-188.
14. Працьовитий М. В. Геометрiя дiйсних чисел у їх кодуваннях засобами нескiнченного алфавiту як основа топологiчних, метричних, фрактальних i ймовiрнiсних теорій // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія –– №  14. – С.189-216.
15. Працьовитий М. В., Климчук С. О. Тополого-метричнii фрактальнi властивостi множини дiйсних чисел з заданим середнiм значенням цифр четвiркового зображення, коли їх частоти iснують // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –  2013. – №  14. – С. 217-226.
16. Працьовитий М. В., Савченко I. О. Фрактальнi властивостi лiнiйних множин однiєї трипараметричної сiм’ї // Науковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –  2013. – №  14. – С. 227 – 239
17. Працьовитий М.В., МакарчукО.П. Розподіл випадкової величини, зображеної двійковими дробом із трьома надлишковими однаково розподіленими цифрами // Укр.мат.журн. 2014., Том 66, №1. – C. 79 -88.
18. Працьовитий М.В., Климчук С.О.,  Макарчук О.П. Чистота цифри у зображенні числа і його асимптотичне середнє значення цифри // Укр.мат.журн. 2014., Том 66, №3. – С. 302 - 310.
19. Працьовитий М.В., ХворостінаЮ.В. Випадкова величина, символи  - зображення якої є випадковими величинами з марковською залежністю //  Теорія ймовірності та математична статистика, Вип. 91, 2014, С. 146 -157
20. Працьовитий М.В., Ісаєва Т.М. Про деякі застосування –зображення дійсних чисел // Буковинський математичний журнал. – Т.2, № 2-3. – Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2014. – С. 187-197.
21. Працьовитий М.В., Савченко І.О. Множина неповних сум числового ряду з однією нелінійною властивістю однорідності // Буковинський математичний журнал. – Т.2, № 2-3. – Чернівці: Чернівецький нац. ун-т, 2014. – С. 197-203.
22. M. Pratsiovytyi, Yu. Khvorostina, Topologicalandmetricpropertiesdistributionsrandomvariablesrepresentedbythealternating L¨roth series with independent elements, Random Oper. Stoch. Equ. 21 (2013), №4, P. 385–401.
23. Працьовитий М.В., Савченко І.О.  Розподіл випадкових неповних сум знакододатного ряду з нелінійною властивістю однорідності //  Теорія ймовірностей та математична статистика. Вип. 91, 2014, С. 136 -145.
24. M.V. Pratsiovytyi, V.O. DrozdenkoCharacterizationtheoremsforinsurerequivalentutilitypremiumcalculationprinciple // Applied Statistics. Actuarial and Financial Mathematics. № 1, 2014, Р. 21-41.
25. Замрій І.В., Працьовитий М.В. Сингулярність інверсора цифр -зображення дробової частини дійсного числа, його фрактальні та інтегральні властивості // Нелінійні коливання. 2015., Том 18, №1. – C. 55-70.
26. Pratsovytyi M., Makarchuk O., SkrypnykS. Ratsional and algebraic Q₂ – representations of real numbers // Siauliai Mathematical Seminar, 10(18), 2015. – P. 199 – 211.  Pratsiovytyi M.V., Kovalenko V.M.Probability measures on fractal curves (probability distributions on Vicsek fractal) // Random Operators and Stochastic equations, 2015; 23(3). – p. 161 – 168.
27. Ісаєва Т.М. Працьовитий М.В. Геометрія та основи метричної теорії зліченно-символьного зображення дійсних чисел одиничного пів інтервалу // Наукові записки НаУКМА, фізико-математичні науки. Том 165, 2015. – С. 11 – 18.
28. ПрацьовитийМ.В., ЗамрійІ.В.Неперервніфункції, якізберігаютьцифру 1 Q₃-зображеннячисла // Буковинськийматематичнийжурнал . 2015. – Т.3, №3-4. – С. 142-159;
29. ПрацьовитийМ.В., ІсаєваТ.В.Фрактальніфункції, пов’язаніз-зображеннямчисел// Буковинськийматематичнийжурнал . 2015. – Т.3, №3-4. – С. 160-169;
30. Pratsiovytyi M. V., Makarchuk O. P., and Klymchuk S. O., Level sets of asymptotic mean of digits function for 4-adic representation of real number, Methods Funct. Anal. Topology 22 (2016), no. 2, 184-196.
31. PratsiovytyiMykola V.,DrozdenkoVitaliy O. Limit behavior of the Esscher premium // Random Operators and Stochastic Equations. Volume 24, Issue 2, Pages 143–146.
32. Isaieva Tetiana M., Pratsiovytyi Mykola V. Group of transformations of (0, 1] preserving tails of ∆μ 5 -representation of numbers // Algebra and Discrete Mathematics, Volume 22 (2016). Number 1, pp. 101–117.
    

7. Впровадження результатів наукової діяльності в навчальний процес, наукова студентська робота

На основі результатів науково-дослідної роботи розроблено спецкурс “Фрактальна геометрія”, розділі «Самоподібні та самоафінні множини» курсу лекцій з аналітичної геометрії, розділі спецкурсу для магістрів «Основні структури сучасної математики».

На основі наукових результатів, отриманих в рамках досліджень школи, захищено десятки кваліфікаційних, магістерських та курсових робіт.

Сьогодні випускники НПУ імені М.П.Драгоманова, які в студентські роки працювали під керівництвом членів наукової школи Працьовитого М.В., навчаються в аспірантурі нашого університету або Інституту математики НАН України або, завершивши навчання, захистили кандидатські дисертації це, зокрема, –– Нікіфоров Р.О., Василенко Н.М., Працьовита І.М., Ситник Д.О., Божок Р.В., Замрій І.В.